SELAMAT DATANG DI BLOG BENI95H (http://beni95h.com)

Lingkaran

1. Sifat dan Rumus Lingkaran
 
Sifat-sifat bangun datar lingkaran sebagai berikut.
1) Lingkaran hanya memiliki satu sisi.
2) Memiliki simetri lipat dan simetri putar yang banyaknya tak hingga.
3) Sudut pada satu lingkaran penuh sebesar 360°.
Rumus keliling dan luas lingkaran adalah :
 

2. Unsur-Unsur dalam Lingkaran
     Bangun datar lingkaran memunyai keistimewaan dibanding bangun datar yang lain. Keistimewaan tersebut sebagai berikut.
1) Tali Busur
 
Garis yang menghubungkan dua titik pada lingkaran disebut tali busur. Tali busur yang melewati titik pusat lingkaran (titik P) disebut garis tengah atau diameter. Tali busur yang tidak melalui titik pusat panjangnya selalu lebih kecil dari diameter.

2) Tembereng

P adalah pusat lingkaran.
a) Garis lengkung AB dengan sudut pusat ∠ merupakan busur kecil.
b) Garis lengkung AB dengan sudut pusat α (sudut refleks) merupakan busur besar.
c) Daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan busur kecil disebut juring kecil.
d) Daerah yang dibatasi oleh jari-jari dan busur besar disebut juring besar.
e) Daerah yang dibatasi oleh garis lengkung sepanjang tali busur disebut tembereng (daerah berarsir).
f) Garis yang ditarik dari titik P dan tegak lurus tali busur disebut apotema (PQ).

Contoh soal :
Perhatikan lingkaran di bawah
 
Apabila jari-jari lingkaran 14 cm, tentukan ukuran dari unsur-unsur lingkaran berikut
a. ∩ AB
b. Luas juring APB

Penyelesaian :
a. Diketahui jari-jari lingkaran 14 cm, diperoleh diameternya 28 cm.
   Keliling lingkaran
   Jadi, keliling lingkaran 88 cm.
Untuk menghitung panjang busur AB digunakan perbandingan juring APB dengan satu lingkaran penuh       yang memunyai sudut 360°

 

Ekuivalen dengan pengerjaan soal pada poin a maka luas juring APB akan dibandingkan dengan luas satu lingkaran penuh.
 

 3) Sudut-Sudut dalam Lingkaran

     Sudut yang dibentuk oleh dua buah jari-jari dengan titik sudut berupa titik di pusat lingkaran disebut sudut pusat. Sudut yang dibentuk oleh dua buah tali busur dengan titik sudut yang terletak pada lingkaran disebut sudut keliling.
Pada lingkaran di samping yang disebut sudut pusat adalah ∠RPS dan sudut keliling adalah ∠RTS. Hubungan antarsudut pusat dan sudut keliling sebagai berikut.
 

Contoh :
Pada gambar di bawah diketahui ∠APB = 60°
 
Tentukan besar sudut AQB
Penyelesaian :
     ∠APB = 2 × ∠AQB
⇔      60° = 2 × ∠AQB
⇔ ∠AQB = 60 : 2
⇔ ∠AQB = 30
Jadi, besar sudut AQB adalah 30°.

3. Bangun Lingkaran Terkait Dengan Segitiga
1) Lingkaran dalam Segitiga
 
     Sebuah lingkaran dengan titik pusat P berada di dalam bangun datar segitiga ABC. Besar ∠CAB dan ∠CBA tiap-tiap dibagi oleh sebuah garis sehingga menjadi dua buah sudut yang sama besar.
     Akan diperoleh tiga buah garis yang berpotongan di titik P. Selanjutnya, dari titik P ditarik garis yang tegak lurus dengan ketiga sisi pada ΔABC, masing-masing di titik Q, R, dan S. Dengan demikian diperoleh persamaan berikut.
 
Perhatikan bahwa ΔABC tersusun atas tiga buah segitiga yaitu ΔAPB, ΔBPC, dan ΔAPC. Luas segitiga dapat kita tentukan rumusnya dengan cara sebagai berikut.
 
Dengan demikian panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dirumuskan dengan : 
 

2) Lingkaran Luar Segitiga
Perhatikan gambar di bawah!
     Garis CR adalah garis tinggi segitiga ABC. Dari titik C ditarik garis lurus yang melalui titik pusat lingkaran yang membentuk garis CS. Perhatikan bahwa ΔCBS merupakan segitiga siku-siku di B. Diperoleh hubungan sebagai berikut.
• ∠CAB = ∠CSB (menghadap tali busur yang sama)
• ∠CRA = ∠CBS = 90°
Karena dua buah segitiga tersebut memiliki dua unsur yang sama maka ΔABC sebangun dengan ΔCBS.
Dengan demikian diperoleh hubungan sebagai berikut.
AC : CS = CR : CB
 
Nilai CR disubstitusikan ke (*) diperoleh :
 
Karena CS = diameter lingkaran = 2r maka:
     2r = CS